Picard定理与泛函分析

在常微分方程(ODE)这门课中，有一个基础、重要但不易理解的定理：Picard存在唯一性定理。相信许多人首次翻开这本书，都会多少为其复杂的定义、莫名其妙的证明而困惑；它也是在学习ODE的过程中，首次涉足的、相比高等数学/数学分析中的「解方程」更为深入的内容。事实上，当你接触过一些泛函分析，回转过头来看，这一定理就会明朗许多。

我们先来回顾ODE课本上对Picard定理的定义：

设初值问题 其中在矩形区域 内连续，而且对满足Lipschitz条件，即 则在区间 上有且仅有一个解，其中常数

ODE书本上对其的证明是使用Picard迭代法构造Picard序列并证明其收敛且根存在。但是，并没有详解关于常数取值范围、存在区间的缘由。而在泛函分析中，压缩映射原理 (Contradiction Mapping Principle, 又称Banach不动点定理) 对Picard定理又有了新的诠释。

介绍一下压缩映射原理：

设是完备距离空间，映射 且存在一个 使得 则存在唯一的 , 使得 .

下面给出证明，相信它对数学系的小朋友们而言不难理解。对非数学系的小朋友而言，或许也不难理解。

易知 是一个连续映射。任取一个 通过下列迭代： 我们得到了中的一组点列 . 则对任意 有 因此，对于任意自然数 ,
因此， 是一个Cauchy列。又因为是完备空间，故 收敛。设其收敛到 ，则在 的两边取 即得 . 下证唯一性。若存在 使得 且 则有 由于 必有 即 .

这两条定理间有什么关系呢？先别急。回看初值问题 其中 对 满足Lipschitz条件，即 我们不难发现，初值问题可以转化为求解积分方程 这时，我们选取一个 使得 并在空间 上定义映射 那么， 是空间 到自身的映射。此时，有 不难发现， 前的系数 满足 且空间 是完备距离空间。因此，根据压缩映射原理，存在唯一的 使得 即上述积分方程存在唯一解。 这也解释了在Picard定理中，解的存在区间 中 的取值由来，即我们需要取满足 的 也就是说 另外，为了保证所得到的唯一解 位于矩形区域 内，我们还需对 作出进一步限制。由 易知 其中 大于 的上界。故应限制 因此最终有

参考文献:

[1] 丁同仁. 常微分方程教程[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2022.
[2] 刘炳初. 泛函分析[M]. 第三版. 北京: 科学出版社, 2015.

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